対称座標法#9 一相地絡故障(インピーダンス地絡,インピーダンス接地)

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対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧,故障電流を求める

なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では,三相交流発電機の中性点がインピーダンス$\dot{Z}_N$を介して接地されているとし,a相,b相,c相のうちa相がインピーダンス$\dot{Z}_f$を介して地絡するとしている

一相地絡故障

計算

故障条件は式 (1.1), (1.2)となる.

\begin{aligned} \dot{V}_a&=\dot{Z}_f\dot{I}_a \tag{1.1}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電流を対称分変換すると,式 (1.3) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_a \tag{1.3} \end{aligned}

したがって,式 (1.4) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.1) の両辺を対称分変換すると,式 (1.4) より,

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\dot{Z}_f(\dot{I}_0+ \dot{I}_1 +\dot{I}_2 )\\ &=3\dot{Z}_f\dot{I}_1 \tag{1.5} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.4) を代入すると,式 (1.6) となる

発電機の接地インピーダンスの$\dot{Z}_N$が零相回路のインピーダンスとして含まれることに注意

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1\\ &= \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ -\dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.6} \end{aligned}

式 (1.6) の辺々を足し式 (1.5)を用いると

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ 3\dot{Z}_f\dot{I}_1&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\ \therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f}\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.7) を式 (1.6) に代入すると,電圧の対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N \\ \dot{Z}_1 \\ \dot{Z}_2 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]  \tag{1.8} \end{aligned}

式 (1.8) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.9) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0\\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3\dot{Z}_f\\ (a^2-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\ (a-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f \end{array} \right]\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.7) を用いて電流を対称分逆変換すると,式 (1.10) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{1.10} \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_N=\dot{Z}_f=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3\dot{Z}_f\\ (a^2-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\ (a-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 3Z\angle\theta\\ 4(a^2-1)Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta+3a^2Z\angle\theta\\ 4(a-1)Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta+3aZ\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9} \left[ \begin{array}{c} 3\\ 4(a^2-1)+(a^2-a)+3a^2\\ 4(a-1)+(a-a^2)+3a \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9} \left[ \begin{array}{c} 3\\ 8a^2-a-4\\ 8a-a^2-4 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9} \left[ \begin{array}{c} 3\\ 9a^2-3\\ 9a-3 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ a^2-\frac{1}{3}\\ a-\frac{1}{3} \end{array} \right] \tag{2.1}\\ \end{aligned}

各相の線電流は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &=\frac{\dot{E}_a}{9Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -4Z\angle\theta\\ 8Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{9} \left[ \begin{array}{c} -4\\ 8\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から,フェーザ図は下図のようになる

一相地絡故障 インピーダンス地絡,インピーダンス接地 フェーザ図

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法5(実践編2) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

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