対称座標法#8 一相地絡故障（直接地絡，インピーダンス接地）

対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点がインピーダンス$\dot{Z}_N$を介して接地されているとし，a相，b相，c相のうちa相が直接地絡するとしている

計算

故障条件は式 (1.1), (1.2)となる．

\begin{aligned} \dot{V}_a&=0 \tag{1.1} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電流を対称分変換すると，式 (1.3) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_a \tag{1.3} \end{aligned}

したがって，式 (1.4) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると，式 (1.5) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \dot{V}_b+\dot{V}_c\\ a \dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\\ a^2 \dot{V}_b+a\dot{V}_c\\ \end{array} \right] \tag{1.5} \end{aligned}

式 (1.5) の各行を足すと式 (1.6) が得られる

（$\dot{V}_a=0$からすぐ求まる。）

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\{(1+a+a^2)\dot{V}_b+(1+a^2+a)\dot{V}_c\}\\ &=0\tag{1.6} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.4) を代入すると，式 (1.7) となる

発電機の接地インピーダンスの$\dot{Z}_N$が零相回路のインピーダンスとして含まれることに注意

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1\tag{1.7} \end{aligned}

\begin{aligned} \therefore \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ -\dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.8} \end{aligned}

式 (1.8) の辺々を足し式 (1.6)を用いることで，式 (1.9) が得られる

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ 0&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\ \therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) を式 (1.7) に代入すると，電圧の対称成分は式 (1.10) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N \\ \dot{Z}_1 \\ \dot{Z}_2 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right] 　\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.10) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.11) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0\\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\tag{1.11} \end{aligned}

式 (1.9) を用いて電流を対称分逆変換すると，式 (1.12) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{1.12} \end{aligned}

対称分回路による解法

式 (1.6), (1.9) から，対称分回路は下図

インピーダンス接地のため，零相分回路に$3\dot{Z}_{N}$がある

電流の対称成分は直ちに導かれる

\begin{aligned} \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \tag{1.3.1}\\ \end{aligned}

b相の端子電圧は，

\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_0+a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2\\ &=-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\dot{I}_0+a^2(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)-a\dot{Z}_2\dot{I}_2\\ &=a^2\dot{E}_a-\dot{I}_0(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+a^2\dot{Z}_1+a\dot{Z}_2)\\ &=a^2\dot{E}_a-\frac{\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+a^2\dot{Z}_1+a\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}\dot{E}_a\\ &=\frac{(a^2 - 1)(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}\dot{E}_a\\ \tag{1.3.2}\\ \end{aligned}

同様に，c相の端子電圧は，

\begin{aligned} \dot{V}_c&=\dot{V}_0+a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2\\ &=\frac{(a - 1)(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}\dot{E}_a\\ \tag{1.3.3}\\ \end{aligned}

対称分回路は，発電機の基本公式〜対称成分の導出を非常に簡潔に計算できる

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_N=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，a相は直接地絡であるので電圧は0である

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) (\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1) (\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 4(a^2-1)Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta\\ 4(a-1) Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 5a^2-a-4\\ 5a-4-a^2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 6a^2-3\\ 6a-3 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0\\ a^2-\frac{1}{2}\\ a-\frac{1}{2} \end{array} \right] \tag{2.1}\\ \end{aligned}

各相の線電流は式 (1.12) より，式 (2.2) となる

健全相では事故による線電流は流れない

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{2Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.3) より，式 (2.3)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &=\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N} \left[ \begin{array}{c} -(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\ \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -4Z\angle\theta\\ 5Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} -4\\ 5\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法５(実践編２) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門