対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧,故障電流を求める
なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している
本記事では,三相交流発電機の中性点がインピーダンス$\dot{Z}_N$を介して接地されているとし,a相,b相,c相のうちa相が直接地絡するとしている

計算
故障条件は式 (1.1), (1.2)となる.
\begin{aligned}
\dot{V}_a&=0 \tag{1.1}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2}
\end{aligned}
電流を対称分変換すると,式 (1.3) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
0 \\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]
\dot{I}_a \tag{1.3}
\end{aligned}
したがって,式 (1.4) が得られる
\begin{aligned}
\dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4}
\end{aligned}
電圧を対称分変換すると,式 (1.5) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
\dot{V}_b+\dot{V}_c\\
a \dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\\
a^2 \dot{V}_b+a\dot{V}_c\\
\end{array}
\right]
\tag{1.5}
\end{aligned}
式 (1.5) の各行を足すと式 (1.6) が得られる
\begin{aligned}
\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\{(1+a+a^2)\dot{V}_b+(1+a^2+a)\dot{V}_c\}\\
&=0\tag{1.6}
\end{aligned}
発電機の基本公式に式 (1.4) を代入すると,式 (1.7) となる
発電機の接地インピーダンスの$\dot{Z}_N$が零相回路のインピーダンスとして含まれることに注意
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]
\dot{I}_1\tag{1.7}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\therefore
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\
\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\
-\dot{Z}_2\dot{I}_1\\
\end{array}
\right]\tag{1.8}
\end{aligned}
式 (1.8) の辺々を足し式 (1.6)を用いることで,式 (1.9) が得られる
\begin{aligned}
\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2
&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\
0&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N)\dot{I}_1\\
\therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}\tag{1.9}
\end{aligned}
式 (1.9) を式 (1.7) に代入すると,電圧の対称成分は式 (1.10) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N \\
\dot{Z}_1 \\
\dot{Z}_2
\end{array}
\right]
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]
\tag{1.10}
\end{aligned}
式 (1.10) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.11) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0\\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
(a^2-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2\\
(a-1)( \dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\tag{1.11}
\end{aligned}
式 (1.9) を用いて電流を対称分逆変換すると,式 (1.12) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]
\tag{1.12}
\end{aligned}
フェーザ図
$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_N=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる
各相の端子電圧は式 (2.1) となる
健全相の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ,a相は直接地絡であるので電圧は0である
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
(a^2-1) (\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a^2-a)\dot{Z}_2\\
(a-1) (\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)+(a-a^2)\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
4(a^2-1)Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta\\
4(a-1) Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
5a^2-a-4\\
5a-4-a^2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
6a^2-3\\
6a-3
\end{array}
\right]\\
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
0\\
a^2-\frac{1}{2}\\
a-\frac{1}{2}
\end{array}
\right]
\tag{2.1}\\
\end{aligned}
各相の線電流は式 (1.12) より,式 (2.2) となる
健全相では事故による線電流は流れない
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
3 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{2Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right]
\tag{2.2}
\end{aligned}
電流の対称成分は式 (1.3) より,式 (2.3)となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]\\
&=\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]
\tag{2.3}
\end{aligned}
電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_N}
\left[
\begin{array}{c}
-(\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N)\\
\dot{Z}_0+3\dot{Z}_N+\dot{Z}_2\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
-4Z\angle\theta\\
5Z\angle\theta\\
-Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
-4\\
5\\
-1
\end{array}
\right]
\tag{2.4}
\end{aligned}
以上から,フェーザ図は下図のようになる

おわりに
対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら
www.charter-blog.com
参考
対称座標法5(実践編2) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会
原理も完全に理解したいのであれば,オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ