対称座標法#7 一相地絡故障（インピーダンス地絡，直接接地）

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対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点が接地されているとし，a相，b相，c相のうちa相がインピーダンス$\dot{Z}_f$を介して地絡するとしている

計算

故障条件は

\begin{aligned} \dot{V}_a&=\dot{Z}_f\dot{I}_a \tag{1.1}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電流を対称分変換すると，式 (1.3) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_a \tag{1.3} \end{aligned}

したがって

\begin{aligned} \dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.1) の両辺を対称分変換すると，式 (1.4) より，

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\dot{Z}_f(\dot{I}_0+ \dot{I}_1 +\dot{I}_2 )\\ &=3\dot{Z}_f\dot{I}_1 \tag{1.5} \end{aligned}

発電機の基本公式は，式 (1.4) から，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1\tag{1.6}\\ \end{aligned}

式 (1.6) の辺々を足すと，式 (1.4), (1.5) から，

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ 3\dot{Z}_f\dot{I}_1&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ \therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.5), (1.7) を満たすような対称分回路を作ると，下図のようになる

インピーダンスを介さない直接地絡の場合と違い，$3\dot{Z}_f$が存在する

この対称分回路から，電圧の各対称成分は

\begin{aligned} \dot{V}_1 &=\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ &=\left(1-\frac{\dot{Z}_1}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\right)\dot{E}_a\\ &=\frac{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.8}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{V}_2 &=-\dot{Z}_2\dot{I}_2\\ &=-\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.9}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{V}_0 &=-\dot{Z}_0\dot{I}_0\\ &=-\frac{\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.8) ~ (1.10) をまとめれば，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\tag{1.11} \end{aligned}

式 (1.7) を用いて電流を対称分逆変換すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1 \\ &= \frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0 \end{array} \right] \tag{1.12} \end{aligned}

電圧を対称分逆変換をすると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3\dot{Z}_f\\ (a^2-1)\dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\ (a-1)\dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f\\ \end{array} \right]\tag{1.13} \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_f=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 3\dot{Z}_f\\ (a^2-1)\dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\ (a-1)\dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f\\ \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 3Z\angle\theta\\ (a^2-1)Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta+3a^2Z\angle\theta\\ (a-1)Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta+3aZ\angle\theta\\ \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} 3\\ 5a^2-a-1\\ 5a-a^2-1\\ \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} 3\\ 6a^2\\ 6a\\ \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} \frac{1}{2}\\ a^2\\ a\\ \end{array} \right] \tag{2.1}\\ \end{aligned}

各相の線電流は式 (1.12) より，式 (2.2) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{2} \frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0\\ 0 \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.7) より，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &=\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -Z\angle\theta \\ 5Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &=\frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 5\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

健全相の電圧は発電機の相電圧と等しく，事故の影響を受けていないことが分かる

]

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法５(実践編２) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門