対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧,故障電流を求める
なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している
本記事では,三相交流発電機の中性点が接地されているとし,a相,b相,c相のうちa相がインピーダンス$\dot{Z}_f$を介して地絡するとしている

計算
故障条件は
\begin{aligned}
\dot{V}_a&=\dot{Z}_f\dot{I}_a \tag{1.1}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2}
\end{aligned}
電流を対称分変換すると,式 (1.3) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
0 \\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]
\dot{I}_a \tag{1.3}
\end{aligned}
したがって
\begin{aligned}
\dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4}
\end{aligned}
式 (1.1) の両辺を対称分変換すると,式 (1.4) より,
\begin{aligned}
\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\dot{Z}_f(\dot{I}_0+ \dot{I}_1 +\dot{I}_2 )\\
&=3\dot{Z}_f\dot{I}_1
\tag{1.5}
\end{aligned}
発電機の基本公式は,式 (1.4) から,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]
\dot{I}_1\tag{1.6}\\
\end{aligned}
式 (1.6) の辺々を足すと,式 (1.4), (1.5) から,
\begin{aligned}
\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2
&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\
3\dot{Z}_f\dot{I}_1&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\
\therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\tag{1.7}
\end{aligned}
式 (1.5), (1.7) を満たすような対称分回路を作ると,下図のようになる
インピーダンスを介さない直接地絡の場合と違い,$3\dot{Z}_f$が存在する

この対称分回路から,電圧の各対称成分は
\begin{aligned}
\dot{V}_1
&=\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\
&=\left(1-\frac{\dot{Z}_1}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\right)\dot{E}_a\\
&=\frac{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.8}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{V}_2
&=-\dot{Z}_2\dot{I}_2\\
&=-\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.9}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{V}_0
&=-\dot{Z}_0\dot{I}_0\\
&=-\frac{\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}\dot{E}_a\tag{1.10}
\end{aligned}
式 (1.8) ~ (1.10) をまとめれば,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_0 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\tag{1.11}
\end{aligned}
式 (1.7) を用いて電流を対称分逆変換すると,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1\\
1
\end{array}
\right]
\dot{I}_1 \\
&=
\frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0\\
0
\end{array}
\right]
\tag{1.12}
\end{aligned}
電圧を対称分逆変換をすると,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_0 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
3\dot{Z}_f\\
(a^2-1)\dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\
(a-1)\dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f\\
\end{array}
\right]\tag{1.13}
\end{aligned}
フェーザ図
$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_f=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる
各相の端子電圧は
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
3\dot{Z}_f\\
(a^2-1)\dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2+3a^2\dot{Z}_f\\
(a-1)\dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2+3a\dot{Z}_f\\
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
3Z\angle\theta\\
(a^2-1)Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta+3a^2Z\angle\theta\\
(a-1)Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta+3aZ\angle\theta\\
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
3\\
5a^2-a-1\\
5a-a^2-1\\
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
3\\
6a^2\\
6a\\
\end{array}
\right]\\
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\\
a^2\\
a\\
\end{array}
\right]
\tag{2.1}\\
\end{aligned}
各相の線電流は式 (1.12) より,式 (2.2) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0\\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{2}
\frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
0\\
0
\end{array}
\right]
\tag{2.2}
\end{aligned}
電流の対称成分は式 (1.7) より,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]
\tag{2.3}
\end{aligned}
電圧の各対称成分は
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f}
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_0 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2+3\dot{Z}_f\\
-\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=\frac{\dot{E}_a}{6Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
-Z\angle\theta \\
5Z\angle\theta\\
-Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=\frac{\dot{E}_a}{6}
\left[
\begin{array}{c}
-1 \\
5\\
-1
\end{array}
\right]
\tag{2.4}
\end{aligned}
以上から,フェーザ図は下図のようになる
健全相の電圧は発電機の相電圧と等しく,事故の影響を受けていないことが分かる
]
おわりに
対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら
www.charter-blog.com
参考
対称座標法5(実践編2) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会
原理も完全に理解したいのであれば,オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ