対称座標法#6 二相短絡一相地絡故障(直接短絡直接地絡,直接接地)

対称座標法を用いて二相短絡一相地絡時の故障電圧,故障電流を求める

なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では,三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし,a相,b相,c相のうちb相とc相が直接短絡し,a相が直接地絡しているとしている

二相短絡一相地絡故障

対称成分を解くとき,計算をするとかなり煩雑になるので今回は対称分回路を用いた

計算

故障条件は

\begin{aligned} \dot{V}_a&=0\tag{1.1}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_c \tag{1.2}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_b+\dot{I}_c&=0 \tag{1.3}\\ \end{aligned}

電流を対称分変換すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ -\dot{I}_b \end{array} \right] \\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a\\ \dot{I}_a+(a-a^2) \dot{I}_b\\ \dot{I}_a+(a^2-a) \dot{I}_b \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a\\ \dot{I}_a+j\sqrt{3}\dot{I}_b\\ \dot{I}_a-j\sqrt{3}\dot{I}_b \end{array} \right] \tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.4) より

\begin{aligned} \dot{I}_1+\dot{I}_2=\frac{2}{3}\dot{I}_a=2\dot{I}_0\tag{1.5} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_b \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 2\\ a+a^2\\ a^2+a\\ \end{array} \right] \dot{V}_b\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 2\\ -1\\ -1\\ \end{array} \right] \dot{V}_b\\ &= \left[ \begin{array}{ccc} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right] \dot{V}_1 \tag{1.6} \end{aligned}

式 (1.6) より

\begin{aligned} \dot{V}_1=\dot{V}_2=-\frac{1}{2}\dot{V}_0\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.5), (1.7)を満たすように対称分回路を組み立てると,下の図のようになる

零相成分の回路のインピーダンスが,その回路に流れる電流と電圧に合うように$\frac{1}{4}\dot{Z}_0$とすることに注意する

対称座標法 二相短絡一相地絡故障

上の対称分回路から,電流の各対称成分を求める

\begin{aligned} \dot{I}_1&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\frac{\dot{Z}_2\frac{\dot{Z}_0}{4}}{\dot{Z}_2+\frac{\dot{Z}_0}{4}}}\\ &=\frac{\dot{Z}_0+4\dot{Z}_2}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\dot{E}_a\tag{1.8}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_2&=-\frac{\frac{\dot{Z}_0}{4}}{\dot{Z}_2+\frac{\dot{Z}_0}{4}}\dot{I}_1\\ &=-\frac{\dot{Z}_0}{4\dot{Z}_2+\dot{Z}_0}\frac{\dot{Z}_0+4\dot{Z}_2}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\dot{E}_a\\ &=-\frac{\dot{Z}_0}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\dot{E}_a\tag{1.9} \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_0&=\frac{1}{2}\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_2+\frac{\dot{Z}_0}{4}}\dot{I}_1\\ &=\frac{1}{2}\frac{4\dot{Z}_2}{4\dot{Z}_2+\dot{Z}_0}\frac{\dot{Z}_0+4\dot{Z}_2}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\dot{E}_a\\ &=\frac{2\dot{Z}_2}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\dot{E}_a\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.8) ~ (1.10) をまとめると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 2\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+4\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right]\tag{1.11} \end{aligned}

電圧の対称成分は,発電機の基本公式から

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 2\dot{Z}_0\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_1(\dot{Z}_0+4\dot{Z}_2) \\ -\dot{Z}_0\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\tag{1.12} \end{aligned}

各相の電圧は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\\ &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 0\\ -2+a^2+a\\ -2+a+a^2 \end{array} \right]\\ &= -\frac{3\dot{Z}_0\dot{Z}_2\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \tag{1.13} \end{aligned}

各相の電流は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 2\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+4\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)}\\ &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 6\dot{Z}_2 \\ (a^2-a)\dot{Z}_0+(2+4a^2)\dot{Z}_2 \\ (a-a^2)\dot{Z}_0+(2+4a)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 6\dot{Z}_2 \\ (a^2-a)(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2) \\ (a-a^2)(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2 ) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 6\dot{Z}_2 \\ -j\sqrt{3}(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2) \\ j\sqrt{3}(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2 ) \end{array} \right]\tag{1.13} \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= -\frac{3\dot{Z}_0\dot{Z}_2\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ &= -\frac{3Z^2\angle2\theta\dot{E}_a}{4Z^2\angle2\theta+2Z^2\angle2\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ &= -\frac{\dot{E}_a}{2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \tag{2.1} \end{aligned}

各相の線電流は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 6\dot{Z}_2 \\ -j\sqrt{3}(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2) \\ j\sqrt{3}(\dot{Z}_0+2\dot{Z}_2 ) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{4Z^2\angle 2\theta+Z\angle \theta(Z\angle \theta+Z\angle \theta)} \left[ \begin{array}{c} 6Z\angle \theta \\ -j\sqrt{3}\cdot 3Z\angle \theta \\ j\sqrt{3}\cdot 3Z\angle \theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{Z\angle \theta} \left[ \begin{array}{c} 1\\ -j\frac{\sqrt{3}}{2} \\ j\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{4\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_0(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)} \left[ \begin{array}{c} 2\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+4\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{4Z^2\angle 2\theta+2Z^2\angle 2\theta} \left[ \begin{array}{c} 2Z\angle \theta \\ Z\angle \theta+4Z\angle \theta \\ -Z\angle \theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6Z\angle \theta} \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{Z^2\angle 2\theta\dot{E}_a}{4Z^2\angle 2\theta+2Z^2\angle 2\theta} \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{6} \left[ \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から,フェーザ図は下図のようになる

二相短絡一相地絡故障 フェーザ図

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法6(実践編3)地絡回路の計算(2)二相短絡インピーダンス地絡、三相短絡インピーダンス地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

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