対称座標法を用いて三相短絡時の故障電圧,故障電流を求める
短絡はインピーダンスを介さず,直接接地の場合を考えている
なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している
計算
故障条件は式 (1.1) となる.
\begin{aligned}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
\dot{V}_a&=\dot{V}_b&&=\dot{V}_c&& \\
\dot{I}_a&+\dot{I}_b & &+\dot{I}_c& &= 0 \\
\end{alignedat}
\right.\tag{1.1}
\end{aligned}
電流の零相成分は,式 (1.2) となる
\begin{aligned}
\dot{I}_0=\frac{1}{3}(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c)=0 \tag{1.2}
\end{aligned}
電圧を対称分変換すると
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1 \\
1
\end{array}
\right]
\dot{V}_a\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a\\
0 \\
0
\end{array}
\right]\\
\tag{1.3}
\end{aligned}
式 (1.3) より
\begin{aligned}
\dot{V}_0=\dot{V}_a,\,\dot{V}_1=\dot{V}_2=0\\\tag{1.4}
\end{aligned}
発電機の基本公式に式 (1.2) を代入すると
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\
-\dot{Z}_2\dot{I}_2\\
\end{array}
\right]\tag{1.5}
\end{aligned}
式 (1.4), (1.5) から,
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1} \\
0
\end{array}
\right],\,
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right],
\tag{1.6}
\end{aligned}
式 (1.6) を用いて電圧を対称分逆変換をすると
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
0
\end{array}
\right]\tag{1.7}
\end{aligned}
式 (1.6) を用いて電流を対称分逆変換すると
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1} \\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1}
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
a^2 \\
a
\end{array}
\right]\tag{1.8}
\end{aligned}
結果の特徴
三相地絡故障(直接地絡,直接接地)の場合と同じ結果になっている
平衡三相交流回路を1つの場所で短絡するとそれは中性点となるため,直接接地形であれば中性点の対地電位は常に0となる
見方を変えれば三相短絡故障はY結線したとも見れ,三相地絡故障(直接地絡)はY結線の中性点を直接接地したとも見れる
したがって,大電流は流れ得るが零相成分や逆相成分は発生しない
フェーザ図
$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図は下図
導出は省略した
おわりに
対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら
参考
原理も完全に理解したいのであれば,オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

- 作者:柴崎 誠
- 出版社/メーカー: オーム社
- 発売日: 2018/04/25
- メディア: 単行本(ソフトカバー)