対称座標法#4 三相短絡故障（直接短絡，直接接地）

対称座標法を用いて三相短絡時の故障電圧，故障電流を求める

短絡はインピーダンスを介さず，直接接地の場合を考えている

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

計算

故障条件は式 (1.1) となる．

\begin{aligned} \left\{ \begin{alignedat}{4} \dot{V}_a&=\dot{V}_b&&=\dot{V}_c&& \\ \dot{I}_a&+\dot{I}_b & &+\dot{I}_c& &= 0 \\ \end{alignedat} \right.\tag{1.1} \end{aligned}

電流の零相成分は，式 (1.2) となる

\begin{aligned} \dot{I}_0=\frac{1}{3}(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c)=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{V}_a\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a\\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ \tag{1.3} \end{aligned}

式 (1.3) より

\begin{aligned} \dot{V}_0=\dot{V}_a,\,\dot{V}_1=\dot{V}_2=0\\\tag{1.4} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.2) を代入すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ -\dot{Z}_2\dot{I}_2\\ \end{array} \right]\tag{1.5} \end{aligned}

式 (1.4), (1.5) から，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1} \\ 0 \end{array} \right],\, \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right], \tag{1.6} \end{aligned}

式 (1.6) を用いて電圧を対称分逆変換をすると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right]\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.6) を用いて電流を対称分逆変換すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1} \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ a^2 \\ a \end{array} \right]\tag{1.8} \end{aligned}

結果の特徴

三相地絡故障（直接地絡，直接接地）の場合と同じ結果になっている

www.charter-blog.com

平衡三相交流回路を1つの場所で短絡するとそれは中性点となるため，直接接地形であれば中性点の対地電位は常に0となる

見方を変えれば三相短絡故障はY結線したとも見れ，三相地絡故障（直接地絡）はY結線の中性点を直接接地したとも見れる

したがって，大電流は流れ得るが零相成分や逆相成分は発生しない

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図は下図

導出は省略した

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門