対称座標法を用いて二相地絡時の故障電圧，故障電流を求める
なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している
本記事では，三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし，a相，b相，c相のうちb相とc相が直接地絡するとしている
地絡はインピーダンスを介さず，直接接地の場合を考えている
計算
故障条件は式 (1.1) となる．
\begin{aligned}
\left\{
\begin{aligned}
\dot{V}_b&=\dot{V}_c=0 \\
\dot{I}_a&=0
\end{aligned}
\right.\tag{1.1}
\end{aligned}
対称分逆変換する
\begin{aligned}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
\dot{V}_b&=\dot{V}_0 & &+a^2 \dot{V}_1& &+ a\dot{V}_2 & &= 0 \\
\dot{V}_c&=\dot{V}_0 & &+a \dot{V}_1& &+ a^2\dot{V}_2 & &= 0 \\
\dot{I}_a&=\dot{I}_0 & &+\dot{I}_1& &+ \dot{I}_2 & &= 0 \\
\end{alignedat}
\right.\tag{1.2}
\end{aligned}
ここで，発電機の基本公式は式 (1.3) で表される
\begin{aligned}
\left\{
\begin{aligned}
\dot{V}_0&=-\dot{Z}_0\dot{I}_0 \\
\dot{V}_1&=\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1 \\
\dot{V}_2&=-\dot{Z}_2\dot{I}_2 \\
\end{aligned}
\right.\tag{1.3}
\end{aligned}
式 (1.3) を式 (1.2) に代入する
\begin{aligned}
\left\{
\begin{alignedat}{4}
\dot{V}_b&=(-\dot{Z}_0\dot{I}_0) & &+a^2(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)& &+ a(-\dot{Z}_2\dot{I}_2) & &= 0 \\
\dot{V}_c&=(-\dot{Z}_0\dot{I}_0)& &+a(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)& &+ a^2(-\dot{Z}_2\dot{I}_2) & &= 0 \\
\dot{I}_a&=\dot{I}_0 & &+\dot{I}_1& &+ \dot{I}_2 & &= 0 \\
\end{alignedat}
\right.\tag{1.4}
\end{aligned}
式 (1.4) から行列の形にすると，式 (1.5) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&a^2\dot{Z}_1&a\dot{Z}_2\\
\dot{Z}_0&a\dot{Z}_1&a^2\dot{Z}_2\\
1&1&1\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
a^2 \\
a \\
0
\end{array}
\right]\tag{1.5}
\end{aligned}
式 (1.5) の電流の係数行列を$A$とおくと
\begin{aligned}
\det A = (a^2-a)(\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0)
\end{aligned}
クラメルの公式から，電流の各対称成分は式 (1.6) ~ (1.8)のように表される
\begin{aligned}
\dot{I}_0
&=
\frac{\dot{E}_a}{\det A}
\left|
\begin{array}{c}
a^2&a^2\dot{Z}_1&a\dot{Z}_2\\
a&a\dot{Z}_1&a^2\dot{Z}_2\\
0&1&1\\
\end{array}
\right|\\
&=
\frac{-\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.6}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_1
&=
\frac{\dot{E}_a}{\det A}
\left|
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&a^2&a\dot{Z}_2\\
\dot{Z}_0&a&a^2\dot{Z}_2\\
1&0&1\\
\end{array}
\right|\\
&=
\frac{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.7}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_2
&=
\frac{\dot{E}_a}{\det A}
\left|
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&a^2\dot{Z}_1&a^2\\
\dot{Z}_0&a\dot{Z}_1&a\\
1&1&0\\
\end{array}
\right|\\
&=
\frac{-\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.8}
\end{aligned}
まとめると，
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_2 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\
-\dot{Z}_0
\end{array}
\right]\tag{1.9}
\end{aligned}
式 (1.9) を式 (1.3) に代入すると
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_2 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\
-\dot{Z}_0
\end{array}
\right]
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_0\dot{Z}_2 \\
\dot{Z}_1( \dot{Z}_0+\dot{Z}_2) \\
-\dot{Z}_0\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]\\\tag{1.10}
\end{aligned}
電圧を対称分逆変換をすると式 (1.12) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]
\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\\
&=
\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
3\\
0\\
0
\end{array}
\right]
\\
\tag{1.12}
\end{aligned}
式 (1.5), (1.10) を用いて電流を対称分逆変換すると，式 (1.13) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_2 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\
-\dot{Z}_0
\end{array}
\right]
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
(a^2-a)\dot{Z}_0+(a^2-1)\dot{Z}_2 \\
(a-a^2)\dot{Z}_0+(a-1)\dot{Z}_2
\end{array}
\right]
\tag{1.13}
\end{aligned}
対称分回路による解法
式 (1.2)第一式と第二式 から，$ \dot{V}_0=\dot{V}_1=\dot{V}_2 $が導かれ，これと第三式から，対称分回路は下図
ここで，零相分回路と逆相分回路の並列部分から，
\begin{aligned}
\dot{I}_2&=-\frac{\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}\dot{I}_1\\
\dot{I}_0&=-\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}\dot{I}_1\\
\tag{1.3.1}\\
\end{aligned}
よって，
\begin{aligned}
\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1&=-\dot{Z}_2\dot{I}_2=\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}\dot{I}_1\\
\dot{E}_a&=\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}\dot{I}_1\\
\dot{I}_1&=\frac{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\tag{1.3.2}\\
\end{aligned}
式 (1.3.1) に代入して
\begin{aligned}
\dot{I}_0&=-\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\\
\dot{I}_2&=-\frac{\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\tag{1.3.3}\\
\end{aligned}
電圧の対称成分は，
\begin{aligned}
\dot{V}_0&=-\dot{Z}_0\dot{I}_0\\
&=\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\,(=\dot{V}_1=\dot{V}_2)
\tag{1.3.4}\\
\end{aligned}
a相の端子電圧は，
\begin{aligned}
\dot{V}_a&=\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2\\
&=\frac{3\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\tag{1.3.5}\\
\end{aligned}
b相, c相の電流は，
\begin{aligned}
\dot{I_b}& = \dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2\\
&=\frac{(a^2-a)\dot{Z}_0+(a^2-1)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\\
\dot{I_c}& = \dot{I}_0+a\dot{I}_1+a^2\dot{I}_2\\
&=\frac{(a-a^2)\dot{Z}_0+(a-1)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\tag{1.3.6}\\
\end{aligned}
対称分回路は，発電機の基本公式〜対称成分の導出を非常に簡潔に計算できる
フェーザ図
$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる
各相の端子電圧は式 (2.1) となる
健全相（a相）の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，b相，c相は直接地絡であるので0となっている
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
3\\
0\\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{Z^2\angle2\theta}{Z^2\angle2\theta+Z^2\angle2\theta+Z^2\angle2\theta}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
3\\
0\\
0
\end{array}
\right]\\
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right]\\
\tag{2.1}
\end{aligned}
各相の線電流は式 (1.13) より，式 (2.2) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
(a^2-a)\dot{Z}_0+(a^2-1)\dot{Z}_2 \\
(a-a^2)\dot{Z}_0+(a-1)\dot{Z}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
(a^2-a)Z\angle\theta+(a^2-1)Z\angle\theta \\
(a-a^2)Z\angle\theta+(a-1)Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
(a^2-a)Z\angle\theta+(a^2-1)Z\angle\theta \\
(a-a^2)Z\angle\theta+(a-1)Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
(a^2-a)+(a^2-1) \\
(a-a^2)+(a-1)
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
2a^2-(a+1) \\
2a-(a^2+1)
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
a^2\\
a
\end{array}
\right]
\tag{2.2}
\end{aligned}
電流の対称成分は式 (1.9)より，式 (2.3)となる
各対称成分はa相の線電流（式 (2.2) ）のちょうど3分の1になっている
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}
\left[
\begin{array}{c}
-\dot{Z}_2 \\
\dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\
-\dot{Z}_0
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta}
\left[
\begin{array}{c}
-Z\angle\theta \\
2Z\angle\theta\\
-Z\angle\theta
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
-1 \\
2\\
-1
\end{array}
\right]
\tag{2.3}
\end{aligned}
電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{Z^2\angle2\theta}{3Z^2\angle2\theta}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}
\right]\\
\tag{2.4}
\end{aligned}
以上から，フェーザ図は下図のようになる
健全相のa相の端子電圧は発電機の相電圧と等しく，事故の影響を受けていないことが分かる
おわりに
対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら
参考
『電力回路 対称座標法』（直リンクpdf注意）
原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ
