対称座標法#3 二相地絡故障（直接地絡，直接接地）

対称座標法を用いて二相地絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし，a相，b相，c相のうちb相とc相が直接地絡するとしている

地絡はインピーダンスを介さず，直接接地の場合を考えている

計算

故障条件は式 (1.1) となる．

\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_c=0 \\ \dot{I}_a&=0 \end{aligned} \right.\tag{1.1} \end{aligned}

対称分逆変換する

\begin{aligned} \left\{ \begin{alignedat}{4} \dot{V}_b&=\dot{V}_0 & &+a^2 \dot{V}_1& &+ a\dot{V}_2 & &= 0 \\ \dot{V}_c&=\dot{V}_0 & &+a \dot{V}_1& &+ a^2\dot{V}_2 & &= 0 \\ \dot{I}_a&=\dot{I}_0 & &+\dot{I}_1& &+ \dot{I}_2 & &= 0 \\ \end{alignedat} \right.\tag{1.2} \end{aligned}

ここで，発電機の基本公式は式 (1.3) で表される

\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \dot{V}_0&=-\dot{Z}_0\dot{I}_0 \\ \dot{V}_1&=\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1 \\ \dot{V}_2&=-\dot{Z}_2\dot{I}_2 \\ \end{aligned} \right.\tag{1.3} \end{aligned}

式 (1.3) を式 (1.2) に代入する

\begin{aligned} \left\{ \begin{alignedat}{4} \dot{V}_b&=(-\dot{Z}_0\dot{I}_0) & &+a^2(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)& &+ a(-\dot{Z}_2\dot{I}_2) & &= 0 \\ \dot{V}_c&=(-\dot{Z}_0\dot{I}_0)& &+a(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)& &+ a^2(-\dot{Z}_2\dot{I}_2) & &= 0 \\ \dot{I}_a&=\dot{I}_0 & &+\dot{I}_1& &+ \dot{I}_2 & &= 0 \\ \end{alignedat} \right.\tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.4) から行列の形にすると，式 (1.5) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&a^2\dot{Z}_1&a\dot{Z}_2\\ \dot{Z}_0&a\dot{Z}_1&a^2\dot{Z}_2\\ 1&1&1\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} a^2 \\ a \\ 0 \end{array} \right]\tag{1.5} \end{aligned}

式 (1.5) の電流の係数行列を$A$とおくと

\begin{aligned} \det A = (a^2-a)(\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0) \end{aligned}

クラメルの公式から，電流の各対称成分は式 (1.6) ~ (1.8)のように表される

\begin{aligned} \dot{I}_0 &= \frac{\dot{E}_a}{\det A} \left| \begin{array}{c} a^2&a^2\dot{Z}_1&a\dot{Z}_2\\ a&a\dot{Z}_1&a^2\dot{Z}_2\\ 0&1&1\\ \end{array} \right|\\ &= \frac{-\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.6} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_1 &= \frac{\dot{E}_a}{\det A} \left| \begin{array}{c} \dot{Z}_0&a^2&a\dot{Z}_2\\ \dot{Z}_0&a&a^2\dot{Z}_2\\ 1&0&1\\ \end{array} \right|\\ &= \frac{\dot{Z}_0+\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.7} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_2 &= \frac{\dot{E}_a}{\det A} \left| \begin{array}{c} \dot{Z}_0&a^2\dot{Z}_1&a^2\\ \dot{Z}_0&a\dot{Z}_1&a\\ 1&1&0\\ \end{array} \right|\\ &= \frac{-\dot{Z}_0}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\tag{1.8} \end{aligned}

まとめると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right]\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) を式 (1.3) に代入すると

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_1( \dot{Z}_0+\dot{Z}_2) \\ -\dot{Z}_0\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\\tag{1.10} \end{aligned}

電圧を対称分逆変換をすると式 (1.12) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a\\ &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array} \right] \\ \tag{1.12} \end{aligned}

式 (1.5), (1.10) を用いて電流を対称分逆変換すると，式 (1.13) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-a)\dot{Z}_0+(a^2-1)\dot{Z}_2 \\ (a-a^2)\dot{Z}_0+(a-1)\dot{Z}_2 \end{array} \right] \tag{1.13} \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相（a相）の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，b相，c相は直接地絡であるので0となっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z^2\angle2\theta}{Z^2\angle2\theta+Z^2\angle2\theta+Z^2\angle2\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 3\\ 0\\ 0 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right]\\ \tag{2.1} \end{aligned}

各相の線電流は式 (1.13) より，式 (2.2) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-a)\dot{Z}_0+(a^2-1)\dot{Z}_2 \\ (a-a^2)\dot{Z}_0+(a-1)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-a)Z\angle\theta+(a^2-1)Z\angle\theta \\ (a-a^2)Z\angle\theta+(a-1)Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-a)Z\angle\theta+(a^2-1)Z\angle\theta \\ (a-a^2)Z\angle\theta+(a-1)Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ (a^2-a)+(a^2-1) \\ (a-a^2)+(a-1) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 2a^2-(a+1) \\ 2a-(a^2+1) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ a^2\\ a \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.9)より，式 (2.3)となる

各対称成分はa相の線電流（式 (2.2) ）のちょうど3分の1になっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_2 \\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2 \\ -\dot{Z}_0 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z^2\angle2\theta} \left[ \begin{array}{c} -Z\angle\theta \\ 2Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_0\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0\dot{Z}_1+\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_2\dot{Z}_0}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z^2\angle2\theta}{3Z^2\angle2\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\\ \tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

健全相のa相の端子電圧は発電機の相電圧と等しく，事故の影響を受けていないことが分かる

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

『電力回路 対称座標法』（直リンクpdf注意）

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門