対称座標法を用いて二相短絡時の故障電圧,故障電流を求める
なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している
本記事では,三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし,a相,b相,c相のうちb相とc相が直接短絡するとしている

計算
故障条件は式 (1.1), (1.2), (1.3) となる.
\begin{aligned}
\dot{V}_b&=\dot{V}_c \tag{1.1}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_b+\dot{I}_c&=0 \tag{1.2}\\
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_a&=0 \tag{1.3}
\end{aligned}
電流を対称分変換すると,式 (1.4) となる
※途中,$a^2-a=-j\sqrt{3}$を用いた.$j$は虚数単位である.導出については各自考えよ.(ヒント:$a$は$a=e^{j\frac{2}{3}\pi}$で表されるベクトル・オペレーターである)
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right]
\dot{I}_b\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
a^2-a\\
a-a^2
\end{array}
\right]
\dot{I}_b\\
&=
-\frac{j\sqrt{3}}{3}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}
\right]
\dot{I}_b \tag{1.4}
\end{aligned}
式 (1.4) から式 (1.5), (1.6) が得られる
\begin{aligned}
\dot{I}_0&=0\tag{1.5}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\dot{I}_1+\dot{I}_2&=0\tag{1.6}
\end{aligned}
電圧を対称分変換すると,式 (1.7) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_b
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{1}{3}
\left[
\begin{array}{ccc}
\dot{V}_a+2\dot{V}_b\\
\dot{V}_a-\dot{V}_b\\
\dot{V}_a-\dot{V}_b\\
\end{array}
\right]
\tag{1.7}
\end{aligned}
式 (1.7) より
\begin{aligned}
\dot{V}_1=\dot{V}_2\\\tag{1.8}
\end{aligned}
発電機の基本公式に式 (1.5), (1.6) を代入すると,式 (1.9) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
\dot{Z}_0&0&0\\
0& \dot{Z}_1&0\\
0&0&\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a\\
0\\
\end{array}
\right]
-
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{Z}_1 \\
-\dot{Z}_2\\
\end{array}
\right]\dot{I}_1\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\
\dot{Z}_2\dot{I}_1\\
\end{array}
\right]\tag{1.9}
\end{aligned}
式 (1.9) の第2行から第3行を引いて式 (1.8)を用いることで,式 (1.10) が得られる
\begin{aligned}
\dot{V}_1-\dot{V}_2
&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1=0\\
\therefore \dot{I}_1=-\dot{I}_2
&=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\tag{1.10}
\end{aligned}
式 (1.10) を式 (1.9) に代入すると,電圧の対称成分は式 (1.11) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]\tag{1.11}
\end{aligned}
式 (1.11) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.12) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1\\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
1\\
1
\end{array}
\right]
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\
&=
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
2\\
a^2+a\\
a+a^2
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
2\\
-1\\
-1
\end{array}
\right]\tag{1.12}
\end{aligned}
式 (1.5), (1.10) を用いて電流を対称分逆変換すると,式 (1.13) となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]\\
&=
\left[
\begin{array}{c}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2\\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}
\right]
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
a^2-a \\
a-a^2
\end{array}
\right]\\
&=
-\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1\\
-1
\end{array}
\right]\tag{1.13}
\end{aligned}
フェーザ図
$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる
各相の端子電圧は式 (2.1) となる
健全相(a相)の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ,b相,c相は直接短絡であるので電圧は等しくなっている
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_a \\
\dot{V}_b \\
\dot{V}_c
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
2\\
-1\\
-1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
2\\
-1\\
-1
\end{array}
\right]\\
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
1\\
-\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{2}
\end{array}
\right]\tag{2.1}
\end{aligned}
各相の線電流は式 (1.13) より,式 (2.2) となる
健全相では事故による線電流は流れない
故障条件の式 (1.2), (1.3) を満たしている
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_a \\
\dot{I}_b \\
\dot{I}_c
\end{array}
\right]
&=
-\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{2Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1\\
-1
\end{array}
\right]
\tag{2.2}
\end{aligned}
電流の対称成分は式 (1.5), (1.10) より,式 (2.3)となる
各対称成分はa相の線電流(式 (2.2) )のちょうど3分の1になっている
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{I}_0 \\
\dot{I}_1 \\
\dot{I}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{\dot{E}_a}{2Z\angle\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
1\\
-1
\end{array}
\right]
\tag{2.3}
\end{aligned}
電圧の各対称成分は式 (1.11) より式 (2.4)となる
\begin{aligned}
\left[
\begin{array}{c}
\dot{V}_0 \\
\dot{V}_1 \\
\dot{V}_2
\end{array}
\right]
&=
\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1
\end{array}
\right]\\
&=
\dot{E}_a
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{1}{2} \\
\frac{1}{2}
\end{array}
\right]\tag{2.4}
\end{aligned}
以上から,フェーザ図は下図のようになる
電流の対称成分$\dot{I}_1, \dot{I}_2$の大きさは線電流$\dot{I}_b,\,\dot{I}_c$の大きさの$\sqrt{3}$倍で直交しているので,30°, 60°, 90°の直角三角形ができる

おわりに
対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら
www.charter-blog.com
参考
対称座標法5(実践編2) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会
原理も完全に理解したいのであれば,オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ