対称座標法#2 二相短絡故障（直接地絡，直接接地）

対称座標法を用いて二相短絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし，a相，b相，c相のうちb相とc相が直接短絡するとしている

計算

故障条件は式 (1.1), (1.2), (1.3) となる．

\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_c \tag{1.1}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_b+\dot{I}_c&=0 \tag{1.2}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_a&=0 \tag{1.3} \end{aligned}

電流を対称分変換すると，式 (1.4) となる

※途中，$a^2-a=-j\sqrt{3}$を用いた．$j$は虚数単位である．導出については各自考えよ．（ヒント：$a$は$a=e^{j\frac{2}{3}\pi}$で表されるベクトル・オペレーターである）

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \dot{I}_b\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ a^2-a\\ a-a^2 \end{array} \right] \dot{I}_b\\ &= -\frac{j\sqrt{3}}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right] \dot{I}_b \tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.4) から式 (1.5), (1.6) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0&=0\tag{1.5} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_1+\dot{I}_2&=0\tag{1.6} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると，式 (1.7) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_b \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \dot{V}_a+2\dot{V}_b\\ \dot{V}_a-\dot{V}_b\\ \dot{V}_a-\dot{V}_b\\ \end{array} \right] \tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.7) より

\begin{aligned} \dot{V}_1=\dot{V}_2\\\tag{1.8} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.5), (1.6) を代入すると，式 (1.9) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{Z}_1 \\ -\dot{Z}_2\\ \end{array} \right]\dot{I}_1\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ \dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) の第2行から第3行を引いて式 (1.8)を用いることで，式 (1.10) が得られる

\begin{aligned} \dot{V}_1-\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1=0\\ \therefore \dot{I}_1=-\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.10) を式 (1.9) に代入すると，電圧の対称成分は式 (1.11) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\tag{1.11} \end{aligned}

式 (1.11) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.12) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ a^2+a\\ a+a^2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\tag{1.12} \end{aligned}

式 (1.5), (1.10) を用いて電流を対称分逆変換すると，式 (1.13) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ a^2-a \\ a-a^2 \end{array} \right]\\ &= -\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ -1 \end{array} \right]\tag{1.13} \end{aligned}

対称分回路による解法

式 (1.5), (1.6), (1.8) から，対称分回路は下図

電流の対称成分は，

\begin{aligned} \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1&=-\dot{Z}_2\dot{I}_2=\dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \dot{I}_1&=-\dot{I}_2=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \tag{1.3.1}\\ \end{aligned}

電圧の対称成分は，

\begin{aligned} \dot{V}_1&=\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ &=\dot{E}_a-\frac{\dot{Z}_1}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &=\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\,(=\dot{V}_2) \tag{1.3.1}\\ \end{aligned}

b相, c相の端子電圧は，

\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_0+a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2\\ &=\frac{(a^2+a)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &=-\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\,(=\dot{V}_c) \tag{1.3.2}\\ \end{aligned}

b相, c相の電流は，

\begin{aligned} \dot{I_b}& = \dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2\\ &= \frac{(a^2-a)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &= -\frac{j\sqrt{3}\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\,(=-\dot{I}_c) \tag{1.3.3}\\ \end{aligned}

対称分回路は，発電機の基本公式〜対称成分の導出を非常に簡潔に計算できる

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相（a相）の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，b相，c相は直接短絡であるので電圧は等しくなっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{array} \right]\tag{2.1} \end{aligned}

各相の線電流は式 (1.13) より，式 (2.2) となる

健全相では事故による線電流は流れない

故障条件の式 (1.2), (1.3) を満たしている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= -\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{2Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.5), (1.10) より，式 (2.3)となる

各対称成分はa相の線電流（式 (2.2) ）のちょうど3分の1になっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{2Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.11) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right]\tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

電流の対称成分$\dot{I}_1, \dot{I}_2$の大きさは線電流$\dot{I}_b,\,\dot{I}_c$の大きさの$\sqrt{3}$倍で直交しているので，30°, 60°, 90°の直角三角形ができる

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法５(実践編２) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門