対称座標法#2 二相短絡故障(直接地絡,直接接地)

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対称座標法を用いて二相短絡時の故障電圧,故障電流を求める

なお,記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧,$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧,$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では,三相交流発電機の中性点が直接接地されているとし,a相,b相,c相のうちb相とc相が直接短絡するとしている

二相短絡故障

計算

故障条件は式 (1.1), (1.2), (1.3) となる.

\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_c \tag{1.1}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_b+\dot{I}_c&=0 \tag{1.2}\\ \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_a&=0 \tag{1.3} \end{aligned}

電流を対称分変換すると,式 (1.4) となる

※途中,$a^2-a=-j\sqrt{3}$を用いた.$j$は虚数単位である.導出については各自考えよ.(ヒント:$a$は$a=e^{j\frac{2}{3}\pi}$で表されるベクトル・オペレーターである)

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \dot{I}_b\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ a^2-a\\ a-a^2 \end{array} \right] \dot{I}_b\\ &= -\frac{j\sqrt{3}}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right] \dot{I}_b \tag{1.4} \end{aligned}

式 (1.4) から式 (1.5), (1.6) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0&=0\tag{1.5} \end{aligned}
\begin{aligned} \dot{I}_1+\dot{I}_2&=0\tag{1.6} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると,式 (1.7) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_b \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \dot{V}_a+2\dot{V}_b\\ \dot{V}_a-\dot{V}_b\\ \dot{V}_a-\dot{V}_b\\ \end{array} \right] \tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.7) より

\begin{aligned} \dot{V}_1=\dot{V}_2\\\tag{1.8} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.5), (1.6) を代入すると,式 (1.9) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{Z}_1 \\ -\dot{Z}_2\\ \end{array} \right]\dot{I}_1\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ \dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) の第2行から第3行を引いて式 (1.8)を用いることで,式 (1.10) が得られる

\begin{aligned} \dot{V}_1-\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1=0\\ \therefore \dot{I}_1=-\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.10) を式 (1.9) に代入すると,電圧の対称成分は式 (1.11) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\tag{1.11} \end{aligned}

式 (1.11) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.12) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ a^2+a\\ a+a^2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\tag{1.12} \end{aligned}

式 (1.5), (1.10) を用いて電流を対称分逆変換すると,式 (1.13) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ a^2-a \\ a-a^2 \end{array} \right]\\ &= -\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ -1 \end{array} \right]\tag{1.13} \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相(a相)の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ,b相,c相は直接短絡であるので電圧は等しくなっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 2\\ -1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 1\\ -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} \end{array} \right]\tag{2.1} \end{aligned}

各相の線電流は式 (1.13) より,式 (2.2) となる

健全相では事故による線電流は流れない

故障条件の式 (1.2), (1.3) を満たしている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= -\frac{j\sqrt{3}\dot{E}_a}{2Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.5), (1.10) より,式 (2.3)となる

各対称成分はa相の線電流(式 (2.2) )のちょうど3分の1になっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{2Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.11) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{Z\angle\theta}{2Z\angle\theta}\dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right]\tag{2.4} \end{aligned}

以上から,フェーザ図は下図のようになる

電流の対称成分$\dot{I}_1, \dot{I}_2$の大きさは線電流$\dot{I}_b,\,\dot{I}_c$の大きさの$\sqrt{3}$倍で直交しているので,30°, 60°, 90°の直角三角形ができる

二相短絡故障 フェーザ図

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法5(実践編2) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

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