対称座標法#1 一相地絡故障（直接地絡，直接接地）

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対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点が接地されているとし，a相，b相，c相のうちa相が直接地絡するとしている

一相地絡故障

計算
- 別の解法
フェーザ図
おわりに
参考

計算

故障条件は

\begin{aligned} \dot{V}_a&=0 \tag{1.1} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電流を対称分変換すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_a \tag{1.3} \end{aligned}

したがって，式 (1.4) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると，式 (1.5) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \dot{V}_b+\dot{V}_c\\ a \dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\\ a^2 \dot{V}_b+a\dot{V}_c\\ \end{array} \right] \tag{1.5} \end{aligned}

式 (1.5) の各行を足すと式 (1.6) が得られる

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\{(1+a+a^2)\dot{V}_b+(1+a^2+a)\dot{V}_c\}\\ &=\frac{1}{3}\{0\cdot\dot{V}_b+0\cdot\dot{V}_c\}\\ &=0\tag{1.6} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.4) を代入すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1\\ &= \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\dot{I}_1\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ -\dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.7) の辺々を足し式 (1.6)を用いることで，

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ 0&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ \therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\tag{1.8} \end{aligned}

式 (1.8) を式 (1.7) に代入すると，電圧の対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0 \\ \dot{Z}_1 \\ \dot{Z}_2 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right] 　\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.10) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) \dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1) \dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.8) を用いて電流を対称分逆変換すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{1.11} \end{aligned}

別の解法

対称成分の電流の関係式を求めるとき，対称分逆変換をして連立方程式をたてる方法がある

二相地絡故障など，こちらの方法の方が楽にできる場合があるのでどちらで出来るようにしておきたい

式(1.2.1) のような連立方程式を立てる

\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2=0 \tag{1.2.1}\\ \dot{I}_c&=\dot{I}_0+a\dot{I}_1+a^2\dot{I}_2=0 \end{aligned}\right. \end{aligned}

式(1.2.1) の辺々引くと

\begin{aligned} \dot{I}_b-\dot{I}_c&=(a^2-a)\dot{I}_1-(a^2-a)\dot{I}_2=0\\ (a^2-a)&(\dot{I}_1-\dot{I}_2)=0\\ \therefore \dot{I}_1&=\dot{I}_2 \,(\because a^2-a\neq0)\tag{1.2.2} \end{aligned}

式 (1.2.2) を式 (1.2.1) 第一式に代入すると

\begin{aligned} \dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_1&=0 \\ \dot{I}_0+(a^2+a)\dot{I}_1&=0 \\ \therefore\dot{I}_0&=\dot{I}_1 \,(\because a^2+a=-1)\tag{1.2.3}\\ \end{aligned}

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，a相は直接地絡であるので電圧は0である

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) \dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1) \dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta\\ (a-1) Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 2a^2-(a+1)\\ 2a-(1+a^2) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 3a^2\\ 3a \end{array} \right] = \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0\\ a^2\\ a \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_b\\ \dot{E}_c \end{array} \right] \tag{2.1}\\ \end{aligned}

各相の線電流は式 (2.2) となる

健全相では事故による線電流は流れない

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.3) より，式 (2.3)となる

各対称成分はa相の線電流（式 (2.2) ）のちょうど3分の1になっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -Z\angle\theta\\ 2Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} -1/3\\ 2/3\\ -1/3 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

健全相の電圧は発電機の相電圧と等しく，事故の影響を受けていないことが分かる

一相地絡故障フェーザ図