対称座標法#1 一相地絡故障（直接地絡，直接接地）

対称座標法を用いて一相地絡時の故障電圧，故障電流を求める

なお，記事中の$\dot{V}_i\,(i=a,b,c)$は各相の端子電圧，$\dot{E}_i\,(i=a,b,c)$は発電機の各相の相電圧，$\dot{I}_i\,(i=a,b,c)$は各相の線電流を表している

本記事では，三相交流発電機の中性点が接地されているとし，a相，b相，c相のうちa相が直接地絡するとしている

計算

故障条件は

\begin{aligned} \dot{V}_a&=0 \tag{1.1} \end{aligned}

\begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_c=0 \tag{1.2} \end{aligned}

電流を対称分変換すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_a \tag{1.3} \end{aligned}

したがって，式 (1.4) が得られる

\begin{aligned} \dot{I}_0= \dot{I}_1 = \dot{I}_2 \left(=\frac{1}{3}\dot{I}_a\right)\tag{1.4} \end{aligned}

電圧を対称分変換すると，式 (1.5) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&a&a^2\\ 1&a^2&a\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right]\\ &= \frac{1}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \dot{V}_b+\dot{V}_c\\ a \dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\\ a^2 \dot{V}_b+a\dot{V}_c\\ \end{array} \right] \tag{1.5} \end{aligned}

式 (1.5) の各行を足すと式 (1.6) が得られる

（$\dot{V}_a=0$からすぐ求まる。）

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\{(1+a+a^2)\dot{V}_b+(1+a^2+a)\dot{V}_c\}\\ &=\frac{1}{3}\{0\cdot\dot{V}_b+0\cdot\dot{V}_c\}\\ &=0\tag{1.6} \end{aligned}

発電機の基本公式に式 (1.4) を代入すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \dot{I}_1\\ &= \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\dot{I}_1\\ \dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1\\ -\dot{Z}_2\dot{I}_1\\ \end{array} \right]\tag{1.7} \end{aligned}

式 (1.7) の辺々を足し式 (1.6)を用いることで，

\begin{aligned} \dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ 0&=\dot{E}_a-(\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2)\dot{I}_1\\ \therefore \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2 &=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\tag{1.8} \end{aligned}

式 (1.8) を式 (1.7) に代入すると，電圧の対称成分は

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0&0&0\\ 0& \dot{Z}_1&0\\ 0&0&\dot{Z}_2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_a\\ 0\\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{c} \dot{Z}_0 \\ \dot{Z}_1 \\ \dot{Z}_2 \end{array} \right] \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}　\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right] 　\tag{1.9} \end{aligned}

式 (1.9) を用いて電圧を対称分逆変換をすると式 (1.10) となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1\\ \dot{V}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} -\dot{Z}_0\\ \dot{Z}_0+\dot{Z}_2\\ -\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) \dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1) \dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\tag{1.10} \end{aligned}

式 (1.8) を用いて電流を対称分逆変換すると，

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2\\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]\\ &= \frac{3\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] \tag{1.11} \end{aligned}

別の解法

対称成分の電流の関係式を求めるとき，対称分逆変換をして連立方程式をたてる方法がある

二相地絡故障など，こちらの方法の方が楽にできる場合があるのでどちらで出来るようにしておきたい

式(1.2.1) のような連立方程式を立てる

\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_b&=\dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2=0 \tag{1.2.1}\\ \dot{I}_c&=\dot{I}_0+a\dot{I}_1+a^2\dot{I}_2=0 \end{aligned}\right. \end{aligned}

式(1.2.1) の辺々引くと

\begin{aligned} \dot{I}_b-\dot{I}_c&=(a^2-a)\dot{I}_1-(a^2-a)\dot{I}_2=0\\ (a^2-a)&(\dot{I}_1-\dot{I}_2)=0\\ \therefore \dot{I}_1&=\dot{I}_2 \,(\because a^2-a\neq0)\tag{1.2.2} \end{aligned}

式 (1.2.2) を式 (1.2.1) 第一式に代入すると

\begin{aligned} \dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_1&=0 \\ \dot{I}_0+(a^2+a)\dot{I}_1&=0 \\ \therefore\dot{I}_0&=\dot{I}_1 \,(\because a^2+a=-1)\tag{1.2.3}\\ \end{aligned}

対称分回路による解法

式 (1.4), (1.6) から，対称分回路は下図

電流の対称成分は直ちに導かれる

\begin{aligned} \dot{I}_0=\dot{I}_1=\dot{I}_2=\frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \tag{1.3.1}\\ \end{aligned}

b相の端子電圧は，

\begin{aligned} \dot{V}_b&=\dot{V}_0+a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2\\ &=-\dot{Z}_0\dot{I}_0+a^2(\dot{E}_a-\dot{Z}_1\dot{I}_1)-a\dot{Z}_2\dot{I}_2\\ &=a^2\dot{E}_a-\dot{I}_0(\dot{Z}_0+a^2\dot{Z}_1+a\dot{Z}_2)\\ &=a^2\dot{E}_a-\frac{\dot{Z}_0+a^2\dot{Z}_1+a\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ &=\frac{(a^2 - 1)\dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ \tag{1.3.2}\\ \end{aligned}

同様に，c相の端子電圧は，

\begin{aligned} \dot{V}_c&=\dot{V}_0+a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2\\ &=\frac{(a - 1)\dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2}\dot{E}_a\\ \tag{1.3.3}\\ \end{aligned}

対称分回路は，発電機の基本公式〜対称成分の導出を非常に簡潔に計算できる

フェーザ図

$\dot{Z}_0=\dot{Z}_1=\dot{Z}_2=Z\angle\theta$であるときのフェーザ図を考えてみる

各相の端子電圧は式 (2.1) となる

健全相の端子電圧はその相の起電力と同じ電圧が現れ，a相は直接地絡であるので電圧は0である

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{\dot{Z}_0+\dot{Z}_1+\dot{Z}_2} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) \dot{Z}_0+(a^2-a)\dot{Z}_2\\ (a-1) \dot{Z}_0+(a-a^2)\dot{Z}_2 \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 0\\ (a^2-1) Z\angle\theta+(a^2-a)Z\angle\theta\\ (a-1) Z\angle\theta+(a-a^2)Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 2a^2-(a+1)\\ 2a-(1+a^2) \end{array} \right]\\ &= \frac{\dot{E}_a}{3} \left[ \begin{array}{c} 0\\ 3a^2\\ 3a \end{array} \right] = \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} 0\\ a^2\\ a \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\ \dot{E}_b\\ \dot{E}_c \end{array} \right] \tag{2.1}\\ \end{aligned}

各相の線電流は式 (2.2) となる

健全相では事故による線電流は流れない

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]\\ \tag{2.2} \end{aligned}

電流の対称成分は式 (1.3) より，式 (2.3)となる

各対称成分はa相の線電流（式 (2.2) ）のちょうど3分の1になっている

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array} \right] \tag{2.3} \end{aligned}

電圧の各対称成分は式 (1.10) より式 (2.4)となる

\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right] &= \frac{\dot{E}_a}{3Z\angle\theta} \left[ \begin{array}{c} -Z\angle\theta\\ 2Z\angle\theta\\ -Z\angle\theta \end{array} \right]\\ &= \dot{E}_a \left[ \begin{array}{c} -1/3\\ 2/3\\ -1/3 \end{array} \right] \tag{2.4} \end{aligned}

以上から，フェーザ図は下図のようになる

健全相の電圧は発電機の相電圧と等しく，事故の影響を受けていないことが分かる

おわりに

対称座標法の基本や他の故障条件の場合についてはこちら

www.charter-blog.com

参考

対称座標法５(実践編２) 地絡回路の計算(1)一相地絡、二相短絡地絡 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

原理も完全に理解したいのであれば，オーム社の『図説%Z法と対称座標法の入門』がおすすめ

図説%Z法と対称座標法の入門