積分回路の矩形波応答をラプラス変換で解く

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電気回路の非正弦波応答をラプラス変換で解くときいろいろな解法があるようですが、筆者なりの解法をここに書きます

解答が合っているのは確認できていますが、説明に過程に問題があるかもしれませんのでご了承ください

問題

RCローパスフィルター(RC=1)に周期2の矩形波電圧

\begin{aligned} u_1(t)=\left\{ \begin{array}{l} 1 \,\,(0\leq t < 1)\\ 0\,\,(1\leq t <2) \end{array} \right . \\ u_1(t+2) = u_1(t) \end{aligned}

がかかっているときの出力電圧vを求めよ.

回路方程式: $ \dot{v}+v=u_1(t)\,(v(0)=0)$

方形波のラプラス変換

方形波の最初の1周期分を$g(t)$とすると

\begin{aligned} g(t) = u(t)-u(t-1) \end{aligned}

これをラプラス変換すると

\begin{aligned} G(s) &= \mathcal{L} \left[g(t)\right] \\ &= \frac{1}{s}-\frac{1}{s}e^{-s} \\ &= \frac{1-e^{-s}}{s} \end{aligned}

方形波全体$f(t)$のラプラス変換$F(s)$は

\begin{aligned} F(s) &= \mathcal{L} \left[f(t)\right] \\ &= \mathcal{L} \left[\sum_{n=0}^{\infty} g(t-2n) \right]\\ &= G(s)\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2ns}\\ \end{aligned}

出力波形波形の導出

回路方程式から, 出力電圧波形$v(t)=\mathcal{L}^{-1}[V(s)]$は

\begin{aligned} V(s) &= \frac{1}{s+1}F(s) \\ &= \frac{G(s)}{s+1}\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2ns}\\ &= \frac{1-e^{-s}}{s(s+1)}\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2ns}\\ &= V_0(s)\sum_{n=0}^{\infty} e^{-2ns}\,\left(V_0(s)= \frac{1-e^{-s}}{s(s+1)}\right) \\ &= \mathcal{L} \left[\sum_{n=0}^{\infty} v_0(t-2n) \right] \,\left(v_0(t)=\mathcal{L}^{-1}[V_0(s)]\right) \end{aligned}

したがって,

\begin{aligned} v(t) = \sum_{n=0}^{\infty} v_0(t-2n) \tag{1} \end{aligned}

ここで, $v_0(t)$を求める.

\begin{aligned} v_0(t)&=\mathcal{L}^{-1}[V_0(s)] \\ &=\mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{1-e^{-s}}{s(s+1)}\right]\\ &=\mathcal{L}^{-1}\left[ \left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \right)(1-e^{-s}) \right]\\ &=\mathcal{L}^{-1}\left[ \left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \right)-e^{-s}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1} \right) \right]\\ &=(1-e^{-t})-u(t-1)\left(1-e^{-(t-1)}\right)\\ &\left(\because \mathcal{L}^{-1}\left[e^{-as}F(s)\right]=u(t-a)f(t-a)\right) \end{aligned}

これと(1)より, $v(t)$が求まる.

$ m $を整数として, $2m \leq t< 2m+1$のとき

\begin{aligned} v(t)&=\sum{n=0}^{ m - 1} \left[(1-e^{-(t-2n)})-u(t-2n-1)\left(1-e^{-(t-2n-1)}\right)\right]+(1-e^{-(t-2m)}) \\ &= \sum{n=0}^{ m - 1} \left[(1-e^{-(t-2n)})-u(t-(2n+1))\left(1-e^{-(t-(2n+1))}\right)\right]+(1-e^{-(t-2m)})\\ &=\sum{n=0}^{ m - 1} \left[1-e^{-(t-2n)}-1+e^{-(t-(2n+1)}\right]+(1-e^{-(t-2m)})\\ &\left(\because 2n+1 \leq 2m-1 < 2m \leq t \Rightarrow u(t-(2n+1)) = 1 \right)\\ &= e^{-t}(e-1)\sum{n=0}^{ m - 1} e^{2n}+(1-e^{-(t-2m)})\\ &= e^{-t}(e-1)\frac{e^{2m}-1}{e2-1}+(1-e^{-t+2m})\&= 1+e^{-t}\left({\frac{e^{2m}-1}{e+1}-e^{2m}}\right)\\ &= 1-e^{-t}\frac{e^{2m+1}+1}{e+1} \tag{2} \end{aligned}

$2m+1 \leq t< 2m+2$のとき

\begin{aligned} v(t)&= 1-e^{-t}\frac{e^{2 m +1}+1}{e+1} - \left(1-e^{-(t-2n-1)}\right) \\ &= -e^{-t}\frac{e^{2 m+1}+1}{e+1}+e^{-t+2m+1}\\ &= e^{-t}\frac{e^{2 m+2}-1}{e+1} \tag{3} \end{aligned}

定常状態での出力波形

定常状態では出力波形は周期的になる.

$t' = t-2m\,(0\leq t' <2)$とおいて定常状態($m\rightarrow\infty$)の一周期中を考える.

(2)式は

\begin{aligned} v(t')&= 1- e^{-(t'+2m)}\frac{e^{2m+1}+1}{e+1} \\ &= 1- e^{-t'}\frac{e+e^{-2m}}{e+1} \\ &= 1- e^{-t'}\frac{e}{e+1} \,(m\rightarrow\infty) \end{aligned}

(3)式も同様にして

\begin{aligned} v(t')&= e^{-(t'+2m)}\frac{e^{2m+2}-1}{e+1}\\ &= e^{-t'}\frac{e^ 2-e^{-2m}}{e+1}\\ &= e^{-t'}\frac{e^ 2}{e+1}\,(m\rightarrow\infty) \end{aligned}

以上より出力波形は下図のようになる (手書きなので汚いです) 積分回路 方形波 出力波形 応答

参考

ラプラス変換とその使い方5<過渡現象編4>代表的非正弦波形の過渡現象 | 音声付き電気技術解説講座 | 公益社団法人 日本電気技術者協会

『工科系の数学(5)』マイベルク著

工科系の数学 (5)

工科系の数学 (5)

式中に出てきた逆ラプラス変換$\mathcal{L}^{-1}\left[e^{-as} F(s)\right]=u(t-a)f(t-a)$はこちらの記事で解説しています

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