ラプラス変換の移動、減衰則について

ラプラス変換では, 原関数の「減衰」が像関数の「移動」に, 原関数の「移動」が像関数の「減衰」になるという関係があり, 式で表すと次のようになる

\[ \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a) \] \[ \mathcal{L}[u(t-a)f(t-a)]=e^{-as}F(s) \]

原関数の減衰→像関数の移動
- 例
原関数の移動→像関数の減衰
- 例
参考

原関数の減衰→像関数の移動

ラプラス変換の定義の式から明らか公式を暗記すると符号を混乱しがちなので, この簡単な証明を頭に入れておくのがオススメ

\begin{eqnarray} \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]&=&\int_0^{\infty}e^{-at}f(t)e^{-st}dt \\ &=& \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s+a)t}dt \\ &=& F(s+a) \end{eqnarray}

例

\begin{eqnarray} \mathcal{L}[e^{-at}\sin \omega t] &=& \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \,\,\left(\because \mathcal{L}[\sin \omega t]= \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right)\\ \mathcal{L}[e^{-at}t^{x-1}]&=& \frac{\Gamma(x)}{(s+a)^x} \,\,\left(\because \mathcal{L}[t^{x-1}]=\frac{\Gamma(x)}{s^x}\right) \end{eqnarray}

※\(t^{x-1}\)のラプラス変換とガンマ関数\(\Gamma(x)\)についてはこちらの記事を読んでください

www.charter-blog.com

原関数の移動→像関数の減衰

\begin{eqnarray} e^{-as}F(s) &=& \int_0^{\infty}e^{-as}f(t)e^{-st}dt\\ &=&\int_0^{\infty}f(t)e^{-s(t+a)}dt \end{eqnarray} ここで, \(t'=t+a\)とすると \begin{eqnarray} &=&\int_a^{\infty}f(t'-a)e^{-st'}dt' \\ &=&\int_0^{\infty}u(t'-a)f(t'-a)e^{-st'}dt'\\ &=&\mathcal{L}[u(t'-a)f(t'-a)] \end{eqnarray}

上で出てきた関数\(u(t)\)はヘビサイド関数と呼ばれ, 次のように定義される. \[ \begin{eqnarray} u(t)= \left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(t<0) \\ 1\,\,(t\geq 0) \end{array} \right . \end{eqnarray} \] a>0のとき\(u(t'-a)\)を掛けることで\(0\leq t' < a\)で\(f(t'-a)=0\)として延長することでラプラス変換になるようにしている.

こちらも移動する方向（符号）に注意

例

\[ \mathcal{L}^{-1}[e^{-2s}\frac{s}{s^2+3^2}] = u(t-2)\sin\left(3(t-2)\right) \] \begin{eqnarray} \mathcal{L}\left[u(t-2){\frac{\sin a(t-2)}{t-2}}\right]&=&e^{-2s}\mathcal{L}\left[{\frac{\sin at}{t}}\right]\\ &=&e^{-2s}\int_s^{\infty}\frac{a}{x^2+a^2}dx\\ &=&e^{-2s}\int_{\frac{s}{a}}^{\infty}\frac{1}{1+x'^2}dx'\,(x'=\frac{x}{a}) \tag{1} \end{eqnarray} \(x'=\tan\theta\) とおいて, \(dx'=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\), \(s: \tan^{-1}\frac{s}{a} 〜 \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)\)と変換すると \begin{eqnarray} (1)&=&e^{-2s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\tan^{-1}\frac{s}{a}}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\ &=&e^{-2s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=&e^{-2s}\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=&e^{-2s}\tan^{-1}\frac{a}{s} \end{eqnarray}