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ラプラス変換の移動、減衰則について

ラプラス変換では, 原関数の「減衰」が像関数の「移動」に, 原関数の「移動」が像関数の「減衰」になるという関係があり, 式で表すと次のようになる

\[ \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a) \] \[ \mathcal{L}[u(t-a)f(t-a)]=e^{-as}F(s) \]

原関数の減衰→像関数の移動

ラプラス変換の定義の式から明らか 公式を暗記すると符号を混乱しがちなので, この簡単な証明を頭に入れておくのがオススメ

\begin{eqnarray} \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]&=&\int_0^{\infty}e^{-at}f(t)e^{-st}dt \\ &=& \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s+a)t}dt \\ &=& F(s+a) \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \mathcal{L}[e^{-at}\sin \omega t] &=& \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \,\,\left(\because \mathcal{L}[\sin \omega t]= \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right)\\ \mathcal{L}[e^{-at}t^{x-1}]&=& \frac{\Gamma(x)}{(s+a)^x} \,\,\left(\because \mathcal{L}[t^{x-1}]=\frac{\Gamma(x)}{s^x}\right) \end{eqnarray}

※\(t^{x-1}\)のラプラス変換とガンマ関数\(\Gamma(x)\)についてはこちらの記事を読んでください

www.charter-blog.com

原関数の移動→像関数の減衰

\begin{eqnarray} e^{-as}F(s) &=& \int_0^{\infty}e^{-as}f(t)e^{-st}dt\\ &=&\int_0^{\infty}f(t)e^{-s(t+a)}dt \end{eqnarray} ここで, \(t'=t+a\)とすると \begin{eqnarray} &=&\int_a^{\infty}f(t'-a)e^{-st'}dt' \\ &=&\int_0^{\infty}u(t'-a)f(t'-a)e^{-st'}dt'\\ &=&\mathcal{L}[u(t'-a)f(t'-a)] \end{eqnarray}
上で出てきた関数\(u(t)\)はヘビサイド関数と呼ばれ, 次のように定義される. \[ \begin{eqnarray} u(t)= \left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(t<0) \\ 1\,\,(t\geq 0) \end{array} \right . \end{eqnarray} \] a>0のとき\(u(t'-a)\)を掛けることで\(0\leq t' < a\)で\(f(t'-a)=0\)として延長することでラプラス変換になるようにしている.

こちらも移動する方向(符号)に注意

\[ \mathcal{L}^{-1}[e^{-2s}\frac{s}{s^2+3^2}] = u(t-2)\sin\left(3(t-2)\right) \] \begin{eqnarray} \mathcal{L}\left[u(t-2){\frac{\sin a(t-2)}{t-2}}\right]&=&e^{-2s}\mathcal{L}\left[{\frac{\sin at}{t}}\right]\\ &=&e^{-2s}\int_s^{\infty}\frac{a}{x^2+a^2}dx\\ &=&e^{-2s}\int_{\frac{s}{a}}^{\infty}\frac{1}{1+x'^2}dx'\,(x'=\frac{x}{a}) \tag{1} \end{eqnarray} \(x'=\tan\theta\) とおいて, \(dx'=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta\), \(s: \tan^{-1}\frac{s}{a} 〜 \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)\)と変換すると \begin{eqnarray} (1)&=&e^{-2s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\tan^{-1}\frac{s}{a}}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\ &=&e^{-2s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=&e^{-2s}\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=&e^{-2s}\tan^{-1}\frac{a}{s} \end{eqnarray}

参考

移動法則 ~ e^{at}f(t) のラプラス変換 - ラプラス変換 - 基礎からの数学入門

逆三角関数の重要な性質まとめ | 高校数学の美しい物語

『工科系の数学(5)』マイベルク著

工科系の数学 (5)

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