ラプラス変換の移動、減衰則について

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ラプラス変換では, 原関数の「減衰」が像関数の「移動」に, 原関数の「移動」が像関数の「減衰」になるという関係があり, 式で表すと次のようになる

\begin{aligned} \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s+a) \\ \mathcal{L}[u(t-a)f(t-a)]=e^{-as}F(s) \end{aligned}

原関数の減衰→像関数の移動

ラプラス変換の定義の式から明らか 公式を暗記すると符号を混乱しがちなので, この簡単な証明を頭に入れておくのがオススメ

\begin{aligned} \mathcal{L}[e^{-at}f(t)]&=\int_0^{\infty}e^{-at}f(t)e^{-st}dt \\ &= \int_0^{\infty}f(t)e^{-(s+a)t}dt \\ &= F(s+a) \end{aligned}

\begin{aligned} \mathcal{L}[e^{-at}\sin \omega t] &= \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \,\,\left(\because \mathcal{L}[\sin \omega t]= \frac{\omega}{s^2+\omega^2}\right)\\ \mathcal{L}[e^{-at}t^{x-1}]&= \frac{\Gamma(x)}{(s+a)^x} \,\,\left(\because \mathcal{L}[t^{x-1}]=\frac{\Gamma(x)}{s^x}\right) \end{aligned}

※$t^{x-1}$のラプラス変換とガンマ関数$\Gamma(x)$についてはこちらの記事を読んでください

t^(x-1)のラプラス変換とガンマ関数 - チャーターブログ

原関数の移動→像関数の減衰

\begin{aligned} e^{-as}F(s) &= \int_0^{\infty}e^{-as}f(t)e^{-st}dt\\ &=\int_0^{\infty}f(t)e^{-s(t+a)}dt \end{aligned}

ここで, $t'=t+a$とすると

\begin{aligned} &=\int_a^{\infty}f(t'-a)e^{-st'}dt' \\ &=\int_0^{\infty}u(t'-a)f(t'-a)e^{-st'}dt'\\ &=\mathcal{L}[u(t'-a)f(t'-a)] \end{aligned}

上で出てきた関数$u(t)$はヘビサイド関数と呼ばれ, 次のように定義される.

\begin{aligned} u(t)= \left\{ \begin{array}{l} 0\,\,(t<0) \\ 1\,\,(t\geq 0) \end{array} \right . \end{aligned}

a>0のとき$u(t'-a)$を掛けることで$0\leq t' < a$で$f(t'-a)=0$として延長することでラプラス変換になるようにしている.

こちらも移動する方向(符号)に注意

\begin{aligned} \mathcal{L}^{-1}[e^{-2 s}\frac{s}{s^ 2+32}] = u(t-2)\sin\left(3(t-2)\right) \end{aligned}

\begin{aligned} \mathcal{L}\left[u(t-2){\frac{\sin a(t-2)}{t-2}}\right] &=e^{-2s}\mathcal{L}\left[{\frac{\sin at}{t}}\right]\\ &=e^{-2s}\int_s^{\infty}\frac{a}{x2+a2}dx\\ &=e^{-2s}\int_{\frac{s}{a}}^{\infty}\frac{1}{1+x'^2}dx'\,(x'=\frac{x}{a}) \tag{2.1} \end{aligned}

$x'=\tan\theta$ とおくと

\begin{aligned} dx'=\frac{1}{\cos2\theta}d\theta \,\left(s: \tan^{-1}\frac{s}{a} 〜 \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)\right)\tag{2.2} \end{aligned}

式 (2.2) を用いると,式 (2.1)は

\begin{aligned} (1)&=e^{-2s}\lim _ { \varepsilon \rightarrow 0} \int _ {\tan^{-1}\frac{s}{a}} ^ {\frac{\pi}{2}-\varepsilon}\frac{1}{1+\tan2\theta}\frac{1}{\cos2\theta}d\theta \\ &=e^{-2s}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=e^{-2s}\left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\frac{s}{a}\right)\\ &=e^{-2s}\tan^{-1}\frac{a}{s} \end{aligned}

参考

移動法則 ~ e^{at}f(t) のラプラス変換 - ラプラス変換 - 基礎からの数学入門

逆三角関数の重要な性質まとめ | 高校数学の美しい物語

『工科系の数学(5)』マイベルク著

工科系の数学 (5)

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