charter(JJ1PID)

t^(x-1)のラプラス変換とガンマ関数

定義

\(t^{x-1}\)のラプラス変換は次のようになります

式中の\(\Gamma(x)\)はガンマ関数です(詳しい説明は後ほど)

\[ \mathcal{L}\left[t^{x-1}\right]=\frac{\Gamma(x)}{s^x} \]

ラプラス変換

定義に従ってラプラス変換します

\[ \mathcal{L}\left[t^{x-1}\right]=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-st}dt=(*) \]

ここで, \(t'=st\)とおくと\(dt'=sdt\)となり, 公式\(\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \)を用いると

\begin{eqnarray} (*)&=&\int_0^{\infty}\left(\frac{t'}{s}\right)^{x-1}e^{-t'}\frac{1}{s}dt' \\ &=& \frac{1}{s^x}\int_0^{\infty}t'^{x-1}e^{-t'}dt' \\ &=& \frac{\Gamma(x)}{s^x} \end{eqnarray}

\[ \mathcal{L}\left[\frac{1}{\sqrt{t}}\right]= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{s^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{\pi}{s}} \]
\[ \mathcal{L}\left[\sqrt{t}\right]= \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{\frac{3}{2}}} \]

ガンマ関数について

ガンマ関数は自然数の階乗\(n!=n\cdot (n-1) \cdot\,...\,\cdot 1 \)を実数(さらに複素数にも)に拡張したもので, \(\Gamma(n+1)=n!\)である.

定義は上で説明したように\(\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt \)である.

ガンマ関数の具体的な値

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt = (**) \]

ここで, \(t=u^2\)とおくと, \(dt = 2u du\)となり

\begin{eqnarray} (**) &=&\int_0^{\infty}(u^2)^{-\frac{1}{2}}e^{-u^2}2udu\\ &=& 2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du \\ &=& \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du \\ &=& \sqrt{\pi} \end{eqnarray}

さらに,

\begin{eqnarray} \Gamma(x+1)&=&\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt \\ &=& \int_0^{\infty}t^x(-e^{-t})'dt\\ &=& \left[-t^xe^{-t}\right]_0^{\infty}+x\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\\ &=&x\Gamma(x) \end{eqnarray}

が成り立つので, 次のような値をとる

\[ \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \] \[ \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4} \] \[ \Gamma\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{5}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{15\sqrt{\pi}}{8} \] \[ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}\]

また,\(\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}\)なので

\[ \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi} \] \[ \Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{2}{3}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{4\sqrt{\pi}}{3} \] \[ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)=\frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi}\]

なお, \(!!\)は二重階乗で, \(n\)が奇数なら\(n!!=n\cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\, ... \,\cdot1 \)となる.

参考

ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質 | 高校数学の美しい物語

ガンマ関数 - Wikipedia