t^(x-1)のラプラス変換とガンマ関数

定義

$t^{x-1}$のラプラス変換は次のようになります

式中の$\Gamma(x)$はガンマ関数です(詳しい説明は後ほど)

\begin{aligned} \mathcal{L}\left[t^{x-1}\right]=\frac{\Gamma(x)}{s^x} \end{aligned}

ラプラス変換

定義に従ってラプラス変換します

\begin{aligned} \mathcal{L}\left[t^{x-1}\right]=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-st}dt=(*) \end{aligned}

ここで, $t'=st$とおくと$dt'=sdt$となり, 公式$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt $を用いると

\begin{aligned} (*)&=\int_0^{\infty}\left(\frac{t'}{s}\right)^{x-1}e^{-t'}\frac{1}{s}dt' \\ &= \frac{1}{s^x}\int_0^{\infty}t'^{x-1}e^{-t'}dt' \\ &= \frac{\Gamma(x)}{s^x} \end{aligned}

\begin{aligned} \mathcal{L}\left[\frac{1}{\sqrt{t}}\right]= \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{s^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{\frac{\pi}{s}} \end{aligned}
\begin{aligned} \mathcal{L}\left[\sqrt{t}\right]= \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{s^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}

ガンマ関数について

ガンマ関数は自然数の階乗$n!=n\cdot (n-1) \cdot\,...\,\cdot 1 $を実数(さらに複素数にも)に拡張したもので, $\Gamma(n+1)=n!$である.

定義は上で説明したように$\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt $である.

ガンマ関数の具体的な値

\begin{aligned} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt = (**) \end{aligned}

ここで, $t=u^2$とおくと, $dt = 2u du$となり

\begin{aligned} (**) &=\int_0^{\infty}(u^2)^{-\frac{1}{2}}e^{-u^2}2udu\\ &= 2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}du \\ &= \sqrt{\pi} \end{aligned}

さらに,

\begin{aligned} \Gamma(x+1)&=\int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt \\ &= \int_0^{\infty}t^x(-e^{-t})'dt\\ &= \left[-t^xe^{-t}\right]_0^{\infty}+x\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt\\ &=x\Gamma(x) \end{aligned}

が成り立つので, 次のような値をとる

\begin{aligned} \Gamma\left(\frac{ 3 }{ 2 }\right) &=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)&=\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}\\ \Gamma\left(\frac{7}{2}\right)&=\frac{5}{2}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{15\sqrt{\pi}}{8}\\ \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)&=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} \end{aligned}

また,$\Gamma(x)=\frac{\Gamma(x+1)}{x}$なので

\begin{aligned} \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)&=-2\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{\pi}\\ \Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)&=-\frac{2}{3}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{4\sqrt{\pi}}{3}\\ \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right)&=\frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi} \end{aligned}

なお, $!!$は二重階乗で, $n$が奇数なら$n!!=n\cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdot\, ... \,\cdot1 $となる.

参考

ガンマ関数(階乗の一般化)の定義と性質 | 高校数学の美しい物語

ガンマ関数 - Wikipedia