山に登っていた時のことです
遠くに休憩所が見え、そこまでの距離が知りたいと思いました
正確である必要はなく、分速で割ることでおよそ何分で到着するかを知りたかったのです
そこで、次の近似式を思いつきました
d: 目標物までの距離 [m]
h: 目標物の高さ [m]
θ: 目標物の見え方（角度）[°]
（θが小さいほど誤差が小さい）
正確に求める場合は60を57にする
近似式の導出と、この式の精度を見ていきましょう
近似式の導出方法
下の画像を見て下さい
θが十分小さい時、と近似できることを利用しています
理論値との誤差
h = 3m場合
1階建ての休憩所の屋根の地面からの高さが約3mです
θが小さければかなり近い値を取っています
実際に用いる場面の多い100以上の場合を見てみましょう
主なθでの誤差は次のようになりました
| θ[°] | 理論値[m] | 近似値[m] | 相対誤差 |
| 0.5° | 344m | 360m | 4.72% |
| 1° | 172m | 180m | 4.73% |
| 2° | 85.9m | 90m | 4.76% |
| 3° | 57.2m | 60m | 4.82% |
| 4° | 42.9m | 45m | 4.89% |
| 5° | 34.3m | 36m | 4.99% |
h=10mの場合
山で生えている木の高さはおおよそ約10mです
こちらもθが小さければかなり近い値を取っています
100m以上の場合を見てみましょう
主なθでの誤差は次のようになりました
| θ[°] | 理論値[m] | 近似値[m] | 相対誤差 |
| 0.5° | 1146m | 1200m | 4.72% |
| 1° | 573m | 600m | 4.73% |
| 2° | 286m | 300m | 4.76% |
| 3° | 191m | 200m | 4.82% |
| 4° | 143m | 150m | 4.89% |
| 5° | 114m | 120m | 4.99% |
いずれの場合にも、5°以下であれば相対誤差5%未満で求まることがわかりました
実際の使い方
角度の測り方
見え方の角度は手を使うことで測れます
腕をいっぱいに伸ばして
- 指一本の幅が2°
- 拳一つが10°
- 拳から親指を立てて15°
- さらに小指も立てて20°
精度を上げる
近似式の係数が60でかなりガバガバですが、これは目標物の高さを有効数字2桁以上で目視で知ることが出来ないため、係数を細かくしても無駄だからです
もし目標物の高さがわかっているのであれば、60を57にするだけで、10°以下であれば相対誤差1%未満で求まります（角度の測り方が正確であれば）
とはいえ、上で見たように相対誤差5%程度であっても、実用上は問題ないでしょう
ここで求めた距離を歩く速度で割ればあと何分で着くか分かりますが、歩く速度も大きく変動します
おわりに
近似を使えば、一見難しい式も暗算で解けるほどに簡単になるのです！
みなさんも今後山に行ったときなど、ふと距離を測りたくなったら使ってみて下さい